Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie by Gernot Stroth

By Gernot Stroth

Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.

Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.

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Da a0 von p geteilt wird, erhalten wir, dass b0 oder c0 von p geteilt werden. Da p2 nicht a0 teilt, können wir annehmen, dass p nicht c0 teilt. 42. Sei nun k minimal mit p teilt nicht bk . Ist k < n, so teilt p den Koeffizienten ak = bk c0 + bk−1 c1 + · · · + b0 ck . Aber p teilt bk−i ci für i > 0 und p teilt weder bk noch c0 . Das ist ein Widerspruch. Also ist k = n. Dann ist aber k = r = n, d. h. grad g = grad f . 32 ist dann grad h = 0, ein Widerspruch. 49. (1) Sei f = 29 x 5 + 53 x 4 + x 3 + 1 3 ∈ Q[x].

42. Seien R ein ZPE-Ring und f , g ∈ R[x]\{0}. Dann gilt I(f ) I(g) = e I(f g) mit einer Einheit e ∈ R. Beweis. Es ist f = cf1 und g = dg1 , wobei c = I(f ), d = I(g) und I(f1 ) = I(g1 ) = 1 gilt. Daher ist es ausreichend, die Behauptung für I(f ) = I(g) = 1 zu beweisen. m i j Seien f = n i=0 ai x und g = j=0 bj x . Weiter sei p ein irreduzibles Element in R. Wir wählen r maximal in 0 ≤ r ≤ n, so dass p nicht ar teilt. Sei genauso s maximal in 0 ≤ s ≤ m, so dass p nicht bs teilt. Der Koeffizient cr +s von x r +s in f g ist a0 br +s + · · · + ar bs + ar +1 bs−1 + · · · + ar +s b0 .

A0 . Ist p 2 kein Teiler von a0 , so ist f irreduzibel in K[x]. 5 F. G. Eisenstein, * 16. 4. 1823 Berlin, † 11. 10. 1852 Berlin. Eisenstein studierte ab 1843 an der Berliner Universität und erhielt dort den Doktorgrad ehrenhalber nach der Veröffentlichung von über 25 Arbeiten. Er habilitierte 1847 an der Berliner Universität und wurde 1852 Mitglied der Berliner Akademie. Eisenstein arbeitete auf den Gebieten der Zahlentheorie, Algebra, elliptische Funktionen und beschäftige sich mit quadratischen, kubischen und biquadratischen Reziprozitätsgesetzen.

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