Algebra: Gruppen - Ringe - Korper by Christian Karpfinger

By Christian Karpfinger

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Zahlreiche Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade (mit Lösungsvorschlägen auf der site) überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis.

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Ferner gilt [Z : k m Z] = k m und [Z : m Z] · [m Z : k m Z] = m k. 1 Es seien U1 , . . , Un Untergruppen einer Gruppe G. Zeigen Sie: n n G: Ui ≤ i=1 [G : Ui ] . 2 Man gebe zu jeder Untergruppe U von S3 die Partitionen von S3 mit Links- bzw. Rechtsnebenklassen nach U an. Geben Sie Beispiele für U a = a U an. 3 0 −1 Welche Ordnungen haben die Elemente A = 1 ,B= 0 0 −1 1 −1 und A B aus GL2 (R)? 4 Sind die Quaternionengruppe Q und die Diedergruppe D4 isomorph? 6 Es sei G eine Gruppe der Ordnung n ∈ N.

Für a, b ∈ ϕ−1 (V ) gilt ϕ(a b−1 ) = ϕ(a) ϕ(b)−1 ∈ V , also a b−1 ∈ ϕ−1 (V ). 7. 11 (d) ist der Kern Kern ϕ := {a ∈ G | ϕ(a) = eH } = ϕ−1 ({eH }) von ϕ : G → H eine Untergruppe von G. Vorsicht. Üblich ist auch die missverständliche Schreibweise Kern ϕ = ϕ−1 (eH ). 12 (Monomorphiekriterium) Ein Gruppenhomomorphismus ϕ ist genau dann injektiv, wenn Kern ϕ = {eG }. Beweis: Für a ∈ Kern ϕ gilt ϕ(a) = eH = ϕ(eG ). Ist nun ϕ injektiv, so folgt a = eG , d. h. Kern ϕ = {eG }. 11 (b) eH = ϕ(a) ϕ(b)−1 = ϕ(a) ϕ(b−1 ) = ϕ(a b−1 ) , d.

1 Untergruppennachweise In den meisten Fällen ist es sehr einfach, von einer nichtleeren Teilmenge einer Gruppe nachzuweisen, dass sie eine Gruppe ist. 7 (Untergruppenkriterien) Für eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G sind gleichwertig: (1) U ≤ G. (2) a, b ∈ U ⇒ a b ∈ U und a−1 ∈ U . (3) a, b ∈ U ⇒ a b−1 ∈ U . Die neutralen Elemente von U und G stimmen dann überein. Beweis: Es sei e das neutrale Element von G. (1) ⇒ (2): Wegen der Voraussetzung folgt aus a, b ∈ U natürlich a b ∈ U . Weil U eine Gruppe ist, hat U ein neutrales Element e′ .

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