Algebre commutative : Chapitres 1 a 4 by Nicolas Bourbaki

By Nicolas Bourbaki

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1, $ 2 ALGÈBRE C O M M U T A T I V E En langage imagé, le système des eh doit être combinaison linéaire à coefficients dans E de systèmes d'éléments de A qui sont des « relations entre les fi 1). Considérons en effet le A-module libre AS), sa base canonique ( u A ) e t l'homomorphisme g : AS) -t F tel que g(uÀ)= fh pour tout A = L ; en notant R le noyau de g, on a (puisque les f i engendrent F) la suite exacte o ù i désigne l'injection canonique. , chap. , A $ 3, no 7, cor. 1 de la prop. 7). Pour qu'une telle famille appartienne a u noyau de I,@ g, il faut et il suffit que C eh @ fh = O dans AEL E @, F ; compte tenu de la suite exacte ( 1 3 ) , cela équivaut à dire que e appartient à l'image de I,@ i , c'est-à-dire que I'on a une relation de la forme (14) OU xj E C eh @ ah = C xj @ i ( r j ) A E J, j e J E , rj E R et J est fini.

Donner une définition directe de cette suite exacte. 60 ALGÈBRE COMMUTATIVE chap. 1, 5 2 1) Donner un exemple d'une suite exacte O + N' -+ N -t N" -t O de A-modules à gauche et d'un A-module à droite E tels que E soit N'plat et N''-plat, mais non N-plat (prendre par exemple N' = N" = 2/22). 2) Soient M, N deux sous-modules d'un A-module E, tels que M N soit plat. Pour que M e t N soient plats, il faut et il suffit que M n N soit plat. 3) Soit A l'anneau K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées sur un corps K.

DEFINITION 1. - On dit qu'un A-module à droite E est fidèlement plat s'il vérifie les quatre propriétés équivalentes de la prop. 1. On définit de même les A-modules à gauche fidèlement plats ; il est clair que pour qu'un A-module à gauche E soit fidèlement plat, il faut et il sufit que E , considéré comme Ao-module à droite, soit fidèlement plat. Remarque. -- Si E est un A-module fidèlement plat, E est un A-module fidèle : en effet, si un élément a E A est tel que z a = O pour tout x E E, l'homothétie h : b + ba dans A est telle que lx@ h = O ; d'où h = O par la propriété c) de la prop.

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