Analyse 1 by Giroux A.

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par l. a. concept de limite d'une suite ou d'une série numérique et son software à los angeles représentation décimale des nombres, en poursuivant avec l. a. thought de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par l. a. définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un element de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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C0 , d1 d2 d3 . . avec ck , dk ∈ C, c’est le repr´esenter comme la somme d’une s´erie x = cN 10N + cN −1 10N −1 + · · · + c0 + d2 d3 d1 + 2 + 3 + ··· 10 10 10 avec ck , dk ∈ C. Th´ eor` eme 21 Soient p, q ∈ N , p > q. Alors il existe d, r ∈ N tels que 0 ≤ r < q et p = q d + r. D´emonstration. Puisque limn→+∞ qn = +∞, il n’y a qu’un nombre fini d’entiers n tels que qn ≤ p. Soit d = sup{n | qn ≤ p}. Alors qd ≤ p < q(d + 1) et p = q d + r avec 0 ≤ r < q. D. 44 Soit donc x > 0. Il existe [x] ∈ N0 tel que [x] ≤ x < [x] + 1 ; [x] est la partie enti` ere de x qui peut donc s’´ecrire sous la forme x = [x] + {x} o` u {x} ∈ [0, 1[ est sa partie fractionnaire.

4. Montrer que la s´erie +∞ k=0 1/k! est convergente et que sa somme est comprise entre 2 et 3. 5. Montrer que la s´erie +∞ k=1 1/k(k + p) est convergente et calculer sa somme — p ∈ N est donn´e. 6. D´eterminer si les s´eries suivantes sont convergentes et, le cas ´ech´eant, calculer leur somme : – +∞ 1 ; 2k + 1 k=0 – +∞ k=2 – +∞ k=1 1 ; k2 − 1 1 . k(k + 1)(k + 2) 7. Montrer que, si uk ≥ 0 pour tout k ∈ N0 , les s´eries +∞ +∞ uk et k=0 k=0 uk 1 + uk convergent ou divergent simultan´ement. 50 8.

44 Soit donc x > 0. Il existe [x] ∈ N0 tel que [x] ≤ x < [x] + 1 ; [x] est la partie enti` ere de x qui peut donc s’´ecrire sous la forme x = [x] + {x} o` u {x} ∈ [0, 1[ est sa partie fractionnaire. Si [x] = 0, soit N ∈ N0 tel que 10N ≤ [x] < 10N +1 . Alors [x] = cN 10N + r1 , cN ∈ C, cN = 0 et 0 ≤ r1 < 10N . Si r1 = 0, soit N1 ∈ N0 tel que 10N1 ≤ r1 < 10N1 +1 , alors N1 < N et [x] = cN 10N + cN1 10N1 + r2 , cN1 ∈ C, cN1 = 0 et 0 ≤ r2 < 10N1 . Si r2 = 0, soit N2 ∈ N0 tel que 10N2 ≤ r2 < 10N2 +1 , alors N2 < N1 et [x] = cN 10N + cN1 10N1 + cN2 10N2 + r3 , cN2 ∈ C, cN2 = 0 et 0 ≤ r3 < 10N2 .

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