Analysis 1 by Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

By Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

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Dann bezeichnen wir f¨ ur nichtleere Teilmengen A und B von X mit A B das Bild von A × B unter , also A B = {a b ; a ∈ A, b ∈ B } . 1) Ist A = {a} eine einelementige Teilmenge, so schreiben wir einfach a B f¨ ur A B. Analog ist A b = {a b ; a ∈ A }. , wenn das Bild von A × A unter der Abbildung wieder in A enthalten ist. 8 Beispiele (a) Es sei X eine Menge. Dann ist die Komposition ◦ zweier Abbildungen eine Verkn¨ upfung auf Abb(X, X). 4 Relationen und Verkn¨ upfungen 29 (b) ∪ und ∩ sind Verkn¨ upfungen auf P(X).

H. ∃ r ∈ X : x (ii) x y=r⇐ ⇒ (x y) (y r = x, x ∈ X. x) = r ⇐ ⇒ x = y. Man zeige, daß eine antikommutative Verkn¨ upfung auf X nicht kommutativ ist und kein neutrales Element besitzt, falls X mehr als zwei Elemente besitzt. 5 Es seien bzw. antikommutative Verkn¨ upfungen auf X bzw. Y . , es gelte f (rX ) = rY , f (x y) = f (x) f (y) , x, y ∈ X . Man beweise die folgenden Aussagen: (a) Durch die Festsetzung x ∼ y :⇐ ⇒ f (x ¨ wird auf X eine Aquivalenzrelation definiert. y) = rY (b) Die Abbildung f : X/∼ → Y , [x] → f (x) ist wohldefiniert und injektiv.

16) j=0 mit yk ∈ {0, . . , g − 1 } f¨ ur k ∈ {0, . . , } und y > 0. , ist n = m ur k ∈ {0, . . , m} eine weitere j=0 zj g mit zk ∈ {0, . . , g − 1} f¨ ur k ∈ {0, . . , }. Darstellung von n, so folgen = m und yk = zk f¨ 50 I Grundlagen 6 Abz¨ahlbarkeit Unsere Ausf¨ uhrungen im letzten Paragraphen haben gezeigt, daß das Wesen un” endlicher Mengen“ f¨ ur die Konstruktion der nat¨ urlichen Zahlen von grundlegender Bedeutung ist. h. die Bijektion N → 2N, n → 2n, welche die nat¨ urlichen Zahlen umkehrbar eindeutig auf die geraden Zahlen abbildet, daß ein vorsichtiger Umgang mit dem Unendlichen“ ” angebracht ist: Denn die obige Abbildung suggeriert doch, daß es gleich viele“ ” nat¨ urliche wie gerade Zahlen gibt.

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